Orthogonalité et distances dans l’espace - Spécialité

Dans un repère orthonormé de l'espace, \( \mathcal{P} \) est le plan d'équation cartésienne \( 3x - y - z + 3=0 \) et \( A \) le point de coordonnées \( \left(-3;1;-3\right) \).

Déterminer les coefficients d'une représentation paramétrique de la droite \[ \Delta : \left\{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & a_xt + b_x \\ y & = & a_yt + b_y \\ z & = & a_zt + b_z \end{array} \right.\quad t \in \mathbb{R} \] passant par \( A \) et orthogonale à \( \mathcal{P} \).
On répondra sous forme d'un sextuplet \( (a_x ; a_y ; a_z ; b_x ; b_y ; b_z) \).

En déduire les coordonnées du point \( H \), projeté orthogonal de \( A \) sur \( \mathcal{P} \).
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x; y; z) \).

Dans un repère orthonormé de l'espace, \( d \) est la droite qui passe par le point \( A \left(1;3;1\right) \) et dont \( \overrightarrow{u} \left(-1;1;-3\right) \) est un vecteur directeur. \( B \) est le point de coordonnées \( \left(2;3;-1\right) \).

Déterminer une équation cartésienne du plan \( \mathcal{P} \) passant par \( B \) et orthogonal à \( d \).

En déduire les coordonnées du point \( K \), projeté orthogonal de \( B \) sur \(d \).
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x;y;z) \).

Dans un repère orthonormé de l'espace, \( \mathcal{P} \) est le plan d'équation cartésienne \( 2x - y - z -2=0 \) et \( A \) le point de coordonnées \( \left(2;1;-2\right) \).

Déterminer les coefficients d'une représentation paramétrique de la droite \[ \Delta : \left\{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & a_xt + b_x \\ y & = & a_yt + b_y \\ z & = & a_zt + b_z \end{array} \right.\quad t \in \mathbb{R} \] passant par \( A \) et orthogonale à \( \mathcal{P} \).
On répondra sous forme d'un sextuplet \( (a_x ; a_y ; a_z ; b_x ; b_y ; b_z) \).

En déduire les coordonnées du point \( H \), projeté orthogonal de \( A \) sur \( \mathcal{P} \).
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x; y; z) \).

Dans un repère orthonormé de l'espace, \( d \) est la droite qui passe par le point \( A \left(-1;-2;-2\right) \) et dont \( \overrightarrow{u} \left(3;2;-1\right) \) est un vecteur directeur. \( B \) est le point de coordonnées \( \left(3;1;2\right) \).

Déterminer une équation cartésienne du plan \( \mathcal{P} \) passant par \( B \) et orthogonal à \( d \).

En déduire les coordonnées du point \( K \), projeté orthogonal de \( B \) sur \(d \).
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x;y;z) \).

Dans un repère orthonormé de l'espace, \( \mathcal{P} \) est le plan d'équation cartésienne \( -2x + y + z + 3=0 \) et \( A \) le point de coordonnées \( \left(2;2;-2\right) \).

Déterminer les coefficients d'une représentation paramétrique de la droite \[ \Delta : \left\{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & a_xt + b_x \\ y & = & a_yt + b_y \\ z & = & a_zt + b_z \end{array} \right.\quad t \in \mathbb{R} \] passant par \( A \) et orthogonale à \( \mathcal{P} \).
On répondra sous forme d'un sextuplet \( (a_x ; a_y ; a_z ; b_x ; b_y ; b_z) \).

En déduire les coordonnées du point \( H \), projeté orthogonal de \( A \) sur \( \mathcal{P} \).
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x; y; z) \).